点球的艺术全解析：四年倒计时，世界杯制胜秘诀你掌握了吗？
引言
在二零二二年卡塔尔世界杯决赛里头，阿根廷队靠着点球大战四比二的成绩打败了法国队，从而拿到了本届世界杯冠军。双方在常规时间打成二比二，加时赛时双方又一次战平，以三比三进入点球大战。首轮法国队球员姆巴佩率先进球，梅西也顺利罚进；第二轮和第三轮法国队派出的科曼、楚阿梅尼都没能命中，阿根廷队却都未失手；第四轮蒙铁尔命中，最终阿根廷队获得冠军。
在本年度世界杯四分之一决赛当中，同样出现了点球大战的情况，克罗地亚队跟巴西队，在常规比赛时间以及加时赛阶段双方打成了一比一的比分，于是比赛进入到了点球大战环节，在点球决胜的首轮，克罗地亚队的弗拉西奇将点球罚进，然而巴西队的罗德里戈所罚的点球却被门将给扑了出去（如图一所示）。
图 1: 巴西队罗德里戈的中下偏右点球
第二轮的时候，双方都各自打出了命中点球的表现了。到了第三轮，同样是双方都成功命中了点球。在关键的第四轮里边呀，克罗地亚队的奥尔西奇去主罚而且球命中了。然而巴西队的主罚者马尔基尼奥斯，把球踢到了立柱上，之后球从球门弹出了，就是这样比赛结束了，巴西队就这样惨遭淘汰了。在这之前的1/8决赛当中呢，E组出线的两支球队，也就是日本和西班牙，它们也都在点球大战上失败了。
图 2: 巴西队马尔基尼奥斯打在门柱上的点球
于点球大战里罚失点球的缘由有好多，不过总体归类主要存在两方面，即为门将扑救水准以及主罚球员罚球的质量，点球射门的方向是对罚球质量产生影响的关键要素，巴西队罗德里戈的点球（图 1）质量欠佳，只要守门不出现判断失误，这般中下偏右的射门是相对易于守住的。
图 3: 哥伦比亚队夸德拉多的左上角点球
一记入质量高的点球，除得有力量之外，还得有刁钻难测的角度，举例来说，在2018年世界杯1/8决赛里，哥伦比亚对阵英格兰那场点球大战当中，哥伦比亚队主罚球员夸德拉多射向左上角的那个点球，其角度极为刁钻（图3），处于这种状况之下，哪怕守门员判断出了正确方向，也极难守住，然而刁钻的射门角度又会引发另外一个风险，那就是球射到球门外或者撞到球门框上（图2） 。
问题
在点球大战当中啊，那主罚该往哪个方向去射呢，这是个问题，研究显示咧，守门员容易扑救的范围是存在着一定限度的，此范围大致近似为一个半圆形的区域，也就是那个跳跃包线区域，在图示的具体图片区域为图4，我们把这个区域称作“扑救区”，啥是“死亡区”呢，就是在扑救区之外的球门区域，就被叫做“死亡区”，由于每个门将的身高不一样，臂长有差异，反应速度也不尽相同，所以啊，扑救区的范围也就有大有小了 。
图4之中，跳跃包线和投身扑救区射向扑救区的点球，其被扑住的概率大概是50%，可是射向死亡区的点球呢，被扑住的概率仅仅只有不到20%。所以呀，要是点球希望让对方守门员难以扑住，那么就应当瞄准球门左右两侧的死亡区。然而呢，为了避免点球射到球门外或者撞到球门框上，又得尽可能地让球远离球门左右两侧的立柱以及上方的横梁。那么，有没有那种完美的点球瞄准点呢，它既能让守门员难以扑住，又能够最大程度保证球不射到球门外呢？请依据图4构建几何模型，将点球的最佳瞄准点确定出来。并且按照文献给出的数据，对你的想法加以验证。
模型
几何模型
能够从图4里面轻易看出来，当我们把点球的瞄准点从球门的底角朝着上方移动变到顶角的时刻，球门死亡区的宽度渐渐扩充增大了。所以，球门左右两边的底角并非是最佳的选择。另外，低位射门的情形下，球非常容易触碰到地面，这样会使得球的速度下降，并且会让守门员扑球的难度降低。所以，点球应该瞄准死亡区较高的地方，并且要让球尽可能每次都远离跳跃包线、球门横梁以及立柱。本文为了寻得那般的瞄准点，构建了如图5所示的坐标系，当中a等于3.66米是球门的半长，b等于2.44米乃球门的高度，R是跳跃包线的半径，本文设定R等于2.85米。从几何层面来讲，最为契合条件的点是跟跳跃包线、球门横梁以及立柱同时相切的圆的圆心，也就是图5里的P点。在球门左侧对称的地方还有一个这样符合条件的点，下文仅以右侧的P点作为例子展开探讨。
图 5: 最佳瞄准点的几何位置
要去确定P点的精准位置并非困难之事，假设它的坐标是(x,y)，依据图5里的几何关系存在。
将 x = a-r 和 y=b-r 代入上式并稍加整理可得
上式是 r 的一元二次方程，由求根公式可知方程的两个根为
述（最多18字）
把 a 等于 3.66 米，b 等于 2.44 米以及 R 等于 2.85 米，代入上边那个式子，能够得到一元二次方程的两个解，分别是 r₁ 等于 0.65 米，还有 r₂ 等于 17.25 米。这两个解相对应的几何态势如图 6 所呈现的那样，很明显 r₂ 等于 17.25 米不符合实际情形所以，因此，我们选取 r 等于 0.65 米这表明，我们要去瞄准的目标点 P 处在距离球门横梁和立柱都是 0.65 米的位置 。当然我们也可以给出 P 的坐标 (3.01, 1.79)。
图 6: 一元二次方程的两个解
有没有参考意义呢，是关于以上模型以及求解过程对于点球大战当中的主罚球员而言的呀？在主罚球员已然准备处于罚球点的那个时刻呢，他们会去思索一元二次方程吗？当然是不会的啦，并且呢也是根本就没有充足的时间去进行考虑的呀！
图 7: 最佳瞄准点的参考位置
要确定P点大致位置，在实践里我们存在更有效的办法：0.65m近乎是正常身高守门员的臂长。倘若按图7的方式让守门员站立在门柱旁，P点恰好位于守门员头右侧稍许位置。专业比赛含女子足球，守门员身高都高。像克罗地亚队门将多米尼克·利瓦科维奇身高188cm，中国女足门将赵丽娜身高同样是188cm。所以这种确定P点大致位置的方式对男足、女足均适用。
统计模型
上面文字里，几何模型给出了点球最佳瞄准点的精准位置，然而，咱们并没有足够精细的数据去确认这个精准位置。罚点球的运动员并非瞄准一个精准的点，而是一个大致的区域。几何模型所确定的最佳瞄准点处在球门的右上角。所以，只要实际数据显示瞄准右上角的点球得分频率比其它区域高，就能在一定程度证明几何模型的合理性。
图 8: 数据集对球门区域的划分
接着，我们要凭借对数据集予以分析，以此来证实几何模型具备合理性。这个数据集给出了在1982年直至2018年期间世界杯点球大战里全部点球的数据。该数据集把球门划分成左上、中上、右上、左中、中、右中、左下、中下以及右下这9个区域（图8 ），并且记录下了每一回点球射向的区域以及是否得分。通过对这批数据开展简单统计，我们获取到了球门各个区域射门的次数N(i)，i = 1, 2, ... , 9（图9 ）。
图 9: 各区射门次数
自图9而言，并不难看出，射向球门下部的点球显著高于中部以及上部，这兴许是由于瞄准球门底部相对较为容易且稳妥。射向球门左侧区域的点球数量显著高于中间以及右侧区域，这或许是因为大部分球员都惯于用右脚罚点球。此二者原因相叠加，致使射向左下区的点球数量最多，然而射向右上区的点球数量最少。
图 10: 各区进球次数
可是，将目标对准一个区域的点球数目多，并不就意味着进球的次数会多。鉴于此，我们另外统计了射入各个区域得分的点球数量，n(i) = 1, 2, ... , 9（图 10），其结果显示，各个区域进球次数的分布和各个区域射门次数相似，同样是下部比中部和上部高、左侧比中间和右侧高。
不能仅凭借每个区域的射门次数，或者进球次数，就看出每个区域的射门成功率。然而，我们能够运用每个区域的进球次数 n(i)，除以射门次数 N(i)，以此来计算出每个区域的得分频率：
结果呈现于图 11 之中，自该图里不难发觉，射向球门右侧区域的点球，其得分频率要高于左侧区域以及中间区域，这或许是源于大多守门员的左手在灵活性方面比不上右手（留意：守门员的左右与主罚球员的左右是相反的情况） 。
图 11: 各区进球频率
和我们预先所设想的情形相同，左右两边的进球频率比中间区域要更高，而处于左右两边区域里，它的上部得分频率比中部以及下部也要更高些。左侧区域的得分频率稍微比右侧低一点，这意味着守门员左右手存在的差别造成射向左侧区域的点球得分频率稍微比右侧低。总共而言的话，射向右上区的点球得分频率是最高的，其次是右中和左上区 。
结论
本篇文章的目的在于判定点球大战里最佳的瞄准位置，借此将点球成功得分的概率增至最大。经由分析可知，最佳的瞄准点应当尽量同时与跳跃包线、球门横梁以及立柱保持距离。为能寻觅到这样的瞄准点，此文构建了几何模型，明确最佳瞄准点乃是与跳跃包线、球门横梁以及立柱同时相切的圆的圆心，且借助一元二次方程的求解得出了该点的确切位置：球门内距离横梁以及立柱均为0.65 m的点。我们给出了一种方法，这种方法能够快速确定最佳瞄准点的大概位置，其目的在于能在实践当中应用模型的结果。
所有点球的数据，是针对1982年至2018年世界杯点球大战而言的，我们对其进行了统计分析，目的在于验证几何模型的结果。结果显示，进球频率方面，左右两侧高于中间区域，至于左右两侧区域，其上部得分频率高于中部和下部。点球得分频率上，射向右上区最高，其次是右中和左上区。这在一定程度上佐证了为何几何模型是合理的，因为几何模型所给出的点球最佳瞄准点处于球门的右（或左）上角 。
参考资料
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Ken Bray. the spot, 2014:
世界杯，关于1982年至2018年以及2020年世界杯中每一次踢球的数据， ， ， ！ 但是题目这样的表述不太清晰准确哦，你可以进一步明确下具体需求呢 。 （这里最后加了一些说明的话语，因为原句如果严格按要求改写会比较。
我不太理解你提供的这个内容确切要表达的意思，感觉表述比较混乱且不完整，不太能按照正常要求准确改写。你可以检查一下内容并清晰准确地表述出来，以便我能更好地完成。