足球门危险区域概率统计方法建模，附数学建模案例分析
数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模
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\l""正文 1
\l""一、问题提出 2
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\l""-=θ，2 5
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正文
数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模
§4足球门的危险区域
一、问题提出
在足球赛事里边，球员于对方球门前各异的位置起脚去射门，针对对方球门的威胁是存在差异的，于球门的正前方所形成的威胁要比在球门两侧进行射门时更大，近距离展开的射门对球门造成的威胁要超出远射，要晓得标准球场的长度是104米，宽度是69米，球门的高度是若干米，宽度是若干米。
事实上，球员彼此之间的基本素质或许存在一定程度的差异 然而对于职业球员而言通常能够认定这种差别并非很大 此外依据统计资料所显示的内容来看射门之时球的速度一般处于10米/秒左右的水平 接下来要构建模型去研究以下这些问题：
对球员于不同位置射门时往球门去的威胁程度加以分析，进而得出危险的区域，。
（2）存在一名守门员进行防守这种情形时，针对球员射门的威胁程度以及危险区域展开更进一步的研究。二、问题剖析。
按照这个问题，得去确定球门的危险区域，这其实就是要找出球员射门时最易进球的区域。球员不管从何处射门，都存在进或者不进这两种情况，这本身就是个随机事件，只不过是哪个地方进球的可能性会最大，也就是最为危险的区域。影响球员射门命中率的因素有好多，其中最为关键的两点是球员的基本素质（技术水平）以及射门时所处的位置。对于每一个球员而言，基本素质在短时间内是没办法改变的，所以，我们主要是在确定好的条件之下，针对射门位置展开分析研究。也即是说，我们着重是对同素质的球员而言，是在球场上任一的一点进行射门的时候，去研究其针对球门之际的威胁程度呢。
当某一球员于球门前某处朝着球门内某目标点进行射门时，该球员自身素质以及球员与目标点之间的距离，共同决定了球抵达目标点的概率，也就是命中球门的概率。而事实上，在这两个因素已然确定的情况下，球飞向球门所在平面的落点，将会呈现出一种固定的数值概率分布空间。稍微进行一番分析，便很容易判定，这种分布应当是二维正态分布，而这正是我们处理解决问题的关键要点所在之处。
当球员于球场上的某一个点去射门的时候，最初必然要在球门所在的平面之中确定出一个目标点，在射出球之后，球会按照那概率分布而落入到球门所在的平面里。把球门看作是其所在平面之上的一个区域，于这个区域之内针对该概率分布展开积分，如此便能得到此次射门命中的概率。可是呢，球员在挑选射门的目标点之际是随意的，然而命中球门的概率对于目标点的选择有着颇为强烈的依赖性。如此一来，我们去遍历球门区域里的所有的点，针对命中概率进行积分，从而把它定义为球场上某一个点对于球门的威胁程度，依据威胁度的大小来确定球门的危险区域。三、模型假设
1、在理想状态下，认为球员的基本素质是相同的，或差别不大；
先不考虑球员射门后，空气对着球速所产生的影响，再暂时搁置地面对球速的作用体现，设定球速为10米每秒 。
3、球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；
4、仅仅只去思量那标准的球场：其长度是104米，宽度是69米；球门的高度是米，球门的宽度是米。四、符号说明 。
球门所在平面，就是那半场上的一个球门所在的平面，它是地面以上的半平面 ，球门内存在点在球门平面π 上所表示的区域，也就是Ω?D 。
A：球场上有着这样的点哦，它的坐标是(x,y) ， (yx为其坐标；)， B：球门内存在着那样的点呢，请留意，它的坐标是(z,y, ， (zy为其坐标；)，。
逗号隔开的内容分别为：(ypz：从球场上A点朝着球门内B点进行射门这一行为致使命中球门的概率；)，(Dxy：球场上存在的点)，(yx对此球门所具备的威胁程度；) 。
嘿，你瞧，k，它所指的是球员身上具备的那种基本素质，这可是一个相对而言的指标呃；然后，那个d，它讲的是在球场上从A这个点一直到球门里面B那个点的直线距离。
θ，是这样一个值，它指的是直线，这条直线是AB，它在地面上的投影线，与球门平面π所形成夹角，且这个夹角是锐角。五、模型建立与求解 。
先构建出像图中所展示的那样的空间直角坐标系，也就是要把球门的底边中点作为原点O，将地面当作xOy面，把球门所在的那个平面π视为yOz面。
问题（1），依据前面的分析，在这样的假设下，对于基本素质为k的球员，从)，(00yxA点朝着距离为d的球门内目标点)，(11zyB进行射门时，球在目标平面π上的落点呈现二维正态分布，并且随机变量zy，是相互独立的，其概率密度函数为。
)，(，2)()(exp21)，(2
21212
σπσ
（1）
哪其中，方差σ跟球员素质k成反比，跟射门点)，(00yxA以及目标点)，(11zyB之间的距离d成正比，并且偏角θ越大的时候方差σ越小。当2。
θ=时（即正对球门中心），σ仅与k，d有关。由此，我们可以
确定σ的表达式为)1(cot+=
θσk
其中0
-=θ，2
)(zyyxd+-+=
留意到，于（1）式的密度函数里头，针对变量zy而言，是具备对称性的，然而在实际情形当中，球仅仅能够落于地面之上，也就是说唯有0≥z。为了达成对这个密度函数的平衡，我们予以令。
=D
)，()，;，(1100?
Ω=
)，()，;，(1100
则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率)
，;，()，;，()，;，(Ω=
（2）
对于命中球门的概率，（2），在球门区域D内进行积分，将其定义为，球场上某点，)，(00yxA，对球门的威胁度，即?
)
综合上面所做的这些分析，针对于球场上的随便哪一个点，也就是那个坐标为(x,y)的A点而言，关于球门的那种构成威胁的程度究竟是多少呢 ？
)
其中)
，;，()，;，()，;，(pDΩ=
，21
12)(zyyxd+-+=
，x
yy-=
1cotθ。
求解这个问题通常是颇费周折的，只能借助数值积分法子去求解。首先要明确反映球员基本素质的参数k，具体做法是这样的：
根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球门的正前方（2
θ=
）距离球门10米处
（d等于10）朝着球门里面的目标点用力射出，标准差应当在1米之以内，也就是取1等于σ，由)1(cot加等于。
θσk
d 可
得到10等于k 。于是，当球员基本素质10等于k 时，求解此模型能够得出球场上任意点对球门的威胁度，部分特殊点的结果如下表所示。依据各点威胁度的值能够作出球场上等威胁度的曲线。
题目中给了这样一个情况。假设有一个场景叫做问题（2）。在该场景下所预设的状态是，考虑到守门员的站位情况。具体来说，这种假设设定为守门员站在射门点、两球门柱所夹角的角平分线上放置。这也就意味着守门员所处位置是球门在垂直射门线平面上的投影区域的中间核心部位呈现，此位置被认定为最佳防守空间状态。接着又说了球员在球场上处在某一个特定的点上。这个点是针对球门内任意给定的一点做出动作。该动作是起脚射门，然后设定经过了时间t之后到达球门平面。当球到达这个给定的点的时候，守门员对于这个球存在着一个捕获的概率情况。这个概率状况由函数)，，(0z y t p来表示。最后提出下面要先针对这个函数)，，(0z y t p的形式予以分析 。
首先留意到，当t处于一定状态时，)，，(0z y t p应当是一个以守门员作为中心朝着周围进行辐射衰减的二维函数，这里得说明，当t变小的时候，曲面的峰度会增高。与此同时，该曲面的面积会减小，所以我们能够运用二维正态分布的概率密度去描绘这种变化趋势。这里的参数t表示从起脚射出的球抵达球门的时间，换个说法，也就是给予守门员的反应时间，要知道，这个时间越长，那么曲面就会越平滑，综上所述我们得以得出。
请你明确一下需求，你提供的这个“???-+--=ct z a y z y t p 220)()(exp )”并不是一个完整。
其中，c是守门员的反应系数，按照专家所做的预测，一般情况下，正常人的反应时间大约是~秒。
嗯，根据那个特别有名的“纸条试验”，能够得出一般人的反应时间大概是10除以2秒，就是说，要设想把一张纸条放置在人的两手指之间，当纸条在重力的作用之下自由下落的时候，通过s =是能够计算出人的反应时间的。所以，在这里不妨就取c =1除以7（这是实验值），守门员防守的时候偏离球门中心的距离为 。 //你提供的内容最后不完整，我按完整要求尽力改写了前面部分。
)()()(32
.720
02
02
20-+-+
++++=
y x
y x y a
基于问题（1）的状况，对于球员于球场上的一点，具体是坐标为(00y x A)的那一点，其射入球门的概率应当按照如下方式予以修正：
-=
D，对dydz有作用，z与y相关，t参与其中，p关联z与y，f。
，，(1)
，()，;，(01100
也就是，那表示守门员捕获球的概率的，是(0z y t p ，)，而(10z y t p -)，这就表示捕不住球的概率哦。于是呢，类似地，能够得到球场上任意一点)，(y x A 对球门的威胁度为?
dz dy z y y x p y x D 1111)
其中)
请你明确补充一下问题哦，你给到的这段话不太完整清晰，不太明确具体要改写什么内容呢。
你提供的内容似乎不太完整且存在一些混乱字符，不太能明确准确的改写要求，请你明晰一下具体内容以便我能更准确地完成改写 。
θσk
d ，
y y -=
1cot θ，2
1212
)(z y y x d +-+=
，0
v d t =
，0v 为常数。
这儿同样能够选取进攻球员的基本素质为10 = k ，守门员的反应系数c 等于1/7 ，球速是100 = v 米每秒 ，跟类似于问题（1）的求解方式一样能够得出球场上任意一点对于球门的威胁程度 ，这儿给出了一些特殊点的值 ，见上面的表格 。
按照各点所具有的威胁度的值，同样能够作出球场上呈现等威胁度的曲线，六、结果分析与说明 。
看出比较两个问题的结果，问题（2）存在防守的情形跟问题（1）不存在防守的情形有着很大不同，问题（2）关键在于守门员发挥的作用，这致使危险区域显著减小，球门周围尤其是正前方是威胁度最高的区域，借此也表明了球场上大、小禁区设置具备合理性。
本模型里，k值是被估算得出的，严格而言，经由大量实验依统计规律去确定会更好。我们借助计算证实了，当k增大（也就是球员素质提升）时，对球门的威胁显著加大，危险区域增大。对于守门员素质，模型中未作考量，这是为让问题简化。至于多名队员的进攻与防守情形以及排兵布阵的相关问题，那就更为复杂了。
这依旧是一种经过简化的方法，在实际情形里，从处于不同角度的位置去射门，所见到的球门区域或许并非是一个矩形区域，而是一个不规则的四边形，其形状会依据射门点的改变而改变，为了将计算予以简化，在矩形区域之上进行积分，如此一来，与实际状况可能会存在一些偏差。此外，该问题存在多种不一样的解法，比如说能够借助初等几何以及代数的方法，在不同的射门点开展随机模拟，借助可能射入球门的概率去定义威胁度函数，同样能够得出相应的结果。
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