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为什么不能在加时赛中抛硬币?
职业足球联盟在淘汰赛或奖杯争夺赛里，发生平局时会进入加时赛，两支球队轮流罚点球直至打破平局，此时用投硬币决定哪支球队先罚点球。类似地，在美国国家职业橄榄球联盟（NFL）比赛出现平局进入加时赛时，抛硬币被用于决定加时赛中哪支球队先进攻、哪支球队先防守。
对于这两种运动而言，我们能够讲，抛硬币作为一种做决定的机制存在缺陷，它能够对输赢结果产生显著影响。鉴于作者对美式橄榄球比赛更为熟悉，所以本文着重探讨该运动，不过之后我们会回归到足球情形的分析当中。
职业橄榄球联赛，通过猜硬币这种方式，来决定哪一方执行进攻，哪一方进行防守。图片是由 -Selim 予以提供的。
NFL中的问题
在NFL里，于加时赛时，会采用投掷硬币之方式，来决定哪一方发球，哪一方接球，此做法在投掷之前看去极具公平气息，然而投掷完毕之后，便出现状况了。虽说投掷硬币所产生的结果是公正的，两支球队获取胜利的可能性是一样的，可是掷硬币之后，猜对的这一方拥有显著优势，他们毫无例外都选择接球去展开防守。这般做的情况下，在1994年至2011年的全部赛季当中，接球的那支队伍赢得了加时赛将近60%的胜率，其中34%是在开局就赢下了比赛。
NFL从2012赛季起，尝试去改善这一问题，采用了射门得分排除法，防守队于第一波进攻里，得通过达阵得分（6分）来赢得比赛，并非像之前那样只靠射门得分（3分）就能获胜，即必须达阵才可立刻赢得比赛，不过结束第一波进攻后，比赛可能会因立刻死亡而结束，也就是首个得分的队伍会胜出比赛。
当把这一规则运用到2011至2012的季后赛之际，两场产生平局的比赛都是由猜对硬币的队伍取得胜利。于2012至2013赛季，出现了23场加时赛（这等同于总比赛场数的8%），其中有一场是以平局告终。在当前已经进行过的采用这一规则的24场有非平局结果的加时赛里，即便采用了射门得分排除法，其中16场（也即是2/3）是由防守队摘得，8场（也就是1/3）是由进攻队获取。也就是说，猜对投掷硬币的球队平均来讲有2/3的机率赢得加时赛。
开局线报价：一个双赢的策略
我们确信，要排除这种不公平机会，需有一个更为激进的解决方案。我们所建议的规则，让球队在所扮演的角色之事上，相较于让对方来扮演此角色，自己来扮演会更为满意。
对于一个被称作公平的规则而言，存在这样的情况，即在此规则之下的每一支球队 ， 不管在加时赛开始那当口是充当进攻队 ， 还是担当防守队 ， 都更倾向于去扮演自身的角色 ， 而不是对方的角色 ， 在这类情形之中呢 ， 每一支球队都觉得他们相比于对手处于更为优势的位置。
这怎么会是可能的呢？我们所拥有的解决方案，是依据一个跟买卖交易一样的原理，在一宗交易当中，买家以及卖家，通过达成商品价格的协议，进而得到相同的满意度，因为双方的偏好存在不同，买家是更加愿意获得商品而非金钱，而卖家则是更愿意获取金钱而非商品，交易达成了一种双赢的局面。
不是就商品价格去讨价还价，我们提议球队针对开局的场线位置展开议价。和通常加时赛的开场不一样，而是，开场在一个特定的码线之处起始。码线的位置通过双方球队报价的平均得出，报价低（其意义随即会明晰展现出来）的球队充当进攻方，报价高的球队充当防守方。这样的结果致使，相较于处于对方的位置而言，双方球队对现处位置都同等程度地愈发满意。
为了进行说明，假设球队A开价是20码线，这意味着
那个被我们称作球队A无差别点的东西，是这样的，从己方20码线起始展开进攻，以及由对方20码线那里开始进行防守，在这一点上，他们觉得己方获取比赛胜利的机会是相等的，尽管并非必然是50对50的机会，这得看队伍自身的相对水平如何。我们假设每一支球队都存在一个无差别点，而这个无差别点在面对不一样的对手之际，有可能会出现变化，这是取决于双方的优势和劣势状况的。
且说为了能够持续进行说明，在此假定球队B的无差别点乃是30码线的位置。平均下来两队的报价处于25码线处，自离开那个30码线位置之际起，球队A开始扮演进攻方，原因在于它给出了较低的报价，具体是20码，而球队B将扮演防守方。
于比赛开启之际，留意到球队A，身为进攻队伍，距B队得分线，较自身开始进攻之无差别点20码线，近了5码，缘于此际其带球所需行进距离为75码，而非先前所报的80码，同样的，球队B的防守起始线，相较于其无差别点30码线，偏了5码，因他们需阻止的进攻距离是75码，并非原来的70码。
为何每支球队都能获取比起他们所给出报价来讲一样的收益呢（5码）。此方案对相互双方来讲，可不单单是一种双方都获利的情况，并且还是比较公平的——每支球队都在相同程度上，相较于对手的位置，更为满意自身处于的位置：要是球队A去充当球队B的角色，那他们就得从对方的25码线起始进行防守，可实际它更乐意从对方的20码线就着手防守。与之相似，球队B同样对自身位置而非球队A的位置更为满意，这种差距同样是5码。
它更有利于最诚实的一方
是否存在一支球队，能够单方面背离自身真正的无差别点，去报一个并非真诚的无差别点以期获益呢？假定球队A不诚实地给出报价x，此处为20x，故而它进行了过高的报价。如此行事，对于它扮演进攻方而言确实存在好处，原因在于这会令报价平均值相较于20而言，朝着更加接近30的方向发展。然而，低报价（x）却存在坏处，所以它的最优偏离存在一个下界。那么，球队A能够从高报价（30）当中获取一定程度的益处——它对此并不知晓，因为它并不清楚球队B会报价30。实际上，鉴于这个比赛属于一种存在不完整信息的比赛，球队A甚至都没办法知晓它的报价究竟是低于球队B的报价，还是高于球队B的报价。
下面假设报价x大于30，在此情况下，球队A需充当防守方，更糟糕的是，如此一来，球队B得分时的移动距离会小于70码。不仅球队B会比自身无差别点的表现更佳，球队A还会更倾向于球队B所处位置，因为30加某个数值远远大于球队A的无差别点20码。
很明显，那些有着风险规避情况，或者甚至于呈现风险中性状态的球队，是存在着诚实报价这样一种动机的，原因在于，任何一种方向上的偏离，在一个方向朝着一定数值进行偏离的时候，比如说球队A实施低报价这种行为，要么于另外一个方向产生了较大数值的偏离之时，比如球队A的报价比真实数值超出了10码，都会致使出现坏处。所以，在报价这个游戏当中，诚实看起来是一种具有强制属性的策略。
报价在足球比赛中的应用
在足球比赛里，罚点球是从距离球门11米的罚球线上开始踢出的，罚球行为发生于此。它们常常出现在淘汰赛或者奖杯争夺赛当中，具体是这两种赛事情况。要是比赛打满90分钟，并且加时之后依旧是平局状态，那就需要借由点球来决定比赛胜负，通过这种方式定出输赢。
通过抛掷硬币致使决定哪一支球队率先进行罚点球，而后两支球队依次轮流罚点球直至各自罚满5个球。要是在这5个球罚完之后不存在任何一支球队占据优势取得先机，那就得推进到下述这一阶段步骤，在此步骤环节当中，两支球队一替一的轮流罚球的过程，每次仅仅罚一个球进行此操作，一直持续循环直到有一支队伍获得得分并且比分领先进而赢得这场比赛。
菲利普·拉姆于2012年欧冠赛总决赛里罚球获得分数，在足球赛事中通过投硬币来确定哪支球队于点球大战时率先罚球，图片源自Unger。
在NFL里，猜对硬币的一方存在优势，统计显示，在点球大战中，首先罚球的球队获胜几率为60% ，相较于后罚球的球队，拥有3:2也就是50%的优势。然而，通过两队对罚球线的报价，把罚球线设定在两个报价的平均值上，接着报价高的球队得到先罚球的奖励，这种做法存在问题，因为太靠近球门（比如6米或者更近），或许并非优势，反而是劣势。之所以这样，是由于守门员能够相对轻易地借助移动去防守源于这般短距离的射门，虽说其反应时间会变得短暂。相应地，我们提议报价高的球队先执行罚球，而报价低的球队会被要求从标准的11米处起始罚球。
首先，两支球队是否都会选择报价11米呢？很明显不是这样，因为要知道在不影响自身罚球得分机会的情况下，他们会倾向于去报价多1厘米的长度。如此一来，最终的结果便是，报价必然会以某一队的报价大于11米而告终。然而，不太明确的是，大于11米多少的数值，才能够使得本球队在罚球的先后顺序方面毫无差别呢。
似乎很明显的是，该计算会依赖于本球队的水平，对手的水平罚球队员的技术，守门员的技术。但不管计算怎样，每支球队的报价都将会有助于提升公平的竞赛环境。
结论
在橄榄球加时赛里，我们所提出的关于开场码线报价的建议，消除了投掷硬币这一偶然因素;在足球点球大战中，我们给出的关于罚球线报价的建议，消除了诸如投掷硬币之类的偶然因素，这使得无论与对方球队的何种选择相比较，每一支球队均相较于对方同等程度地更加满意自身当下所做出的这一选择。
报价居然会给两种运动都增添新的策略元素，在橄榄球比赛里，它会制造一个悬念，哪支球队会充当进攻方与防守方，起始线处于什么位置，在足球比赛中，哪支球队先罚点球，罚球线在哪里。尽管橄榄球和足球的球迷会争辩说报价并非一个“纯粹”的竞赛测试，然而投掷硬币同样不是。在所有的优点当中显著的一点，报价会使球队对自身的抉择负责而非让他们把自身的糟糕表现归咎于坏运气。
美国足球通过1970年引进红黄牌警告，让球员和教练对裁判判决更明白，2012年球门线科技用于判定足球是否穿过球门平面，全美篮球协会（NBA）在1979年设立三分线奖励远投额外技巧以及NFL在1979年开始采用两分转换双倍奖励奔跑或投掷而非踢球得分，这些都表明运动正朝着更加公平不断发展，这些都是运动中发明的例子。我们相信橄榄球以及足球比赛中加时赛规则的发展演化也是如此。